【JavaScript】平方根を組みこみ関数または自力で計算する方法
更新日：2023/07/12
JavaScriptで平方根を求める方法をお伝えします。
組み込み関数を使用する
JavaScriptは組み込みオブジェクトMathに、平方根を計算するsqrt()メソッドが定義されています。
Math.sqrt()の構文
Math.sqrt( x )
xは、isNaN(x)でfalseを返す値、かつ0以上です。
100 や 200 などの数値
"100" や "200" などの数値文字列
true ⇒ 1、false ⇒ 0
null ⇒ 0
[Symbol.toPrimitive]を適切に実装したオブジェクト
また結果は値を一つ返しますが、符号を反転させたものも平方根の値です。
次のコードは、Math.sqrt()の使用例です。
使用例
console.log( Math.sqrt( 100 ) ); // 結果: 10
console.log( Math.sqrt( "100" ));// 結果: 10
console.log( Math.sqrt( null ) ); // 結果: 0
const obj = {
value:100,
[ Symbol.toPrimitive ](hint){
switch(hint){
case "string": return this.value.toString();
case "number":
case "default":
default: return this.value;
}
}
};
console.log( Math.sqrt( obj ) );// 結果: 10
このメソッドのアルゴリズムは仕様（ECMAScript）で定義されていません。
そのため実装（各ブラウザ、Node.jsなど）で独自に組み込むため、環境によって結果が異なるかもしれません。
自力で計算する
平方根はMath.sqrt()を使用すればいいのですが、僕は蛇足的な内容が大好きなので自力で計算してみます。
プログラムに落とし込み可能な平方根の解法は、ニュートン法を利用するとよいらしいです。
htmlでの表記に苦労しそうな数式を理解するのは骨が折れそうなので、結果だけ使います。
興味がある人は、「平方根 ニュートン法」で検索してみてください。
(といいつつ、少し調べてみました)
完成したのが、次のコードです。
const square_root = ((threshold)=>{
const th = threshold; // 閾値
return value =>{
let before_x,x= value;
do{
before_x = x;
x = (before_x + value/before_x) / 2;
}while( Math.abs( before_x - x ) > th );
return Math.abs( x );
};
})(0.00000001);
ニュートン法が、次のコード。
x = (before_x + value/before_x) / 2;
この式で得た変数 x を before_x にセットして、再度同じ式を実行すると求める平方根に収束していきます。
前回の値と計算結果が同じになったら、それ以上収束しないので終了です。
今回は同値ではなくて、閾値で終了判断しています。
この関数を使って、10から30までの平方根を求めてみます。
for( i = 10 ; i <= 30 ; i ++ ) {
const r1 = square_root(i);
const r2 = Math.sqrt(i);
console.log( i,r1 , r2 , r1 - r2 );
}
Math.sqrt()の結果と差分も出力してあります。
次のような結果になりました。
10 3.162277660168379 3.1622776601683795 -4.440892098500626e-16
11 3.3166247903554 3.3166247903554 0
12 3.4641016151377544 3.4641016151377544 0
13 3.6055512754639896 3.605551275463989 4.440892098500626e-16
14 3.7416573867739413 3.7416573867739413 0
15 3.872983346207417 3.872983346207417 0
16 4 4 0
17 4.123105625617661 4.123105625617661 0
18 4.242640687119286 4.242640687119285 8.881784197001252e-16
19 4.358898943540673 4.358898943540674 -8.881784197001252e-16
20 4.47213595499958 4.47213595499958 0
21 4.58257569495584 4.58257569495584 0
22 4.69041575982343 4.69041575982343 0
23 4.795831523312719 4.795831523312719 0
24 4.898979485566356 4.898979485566356 0
25 5 5 0
26 5.0990195135927845 5.0990195135927845 0
27 5.196152422706632 5.196152422706632 0
28 5.291502622129181 5.291502622129181 0
29 5.385164807134505 5.385164807134504 8.881784197001252e-16
30 5.477225575051661 5.477225575051661 0
ほぼ、同じ結果ですね。
べき乗を使用する
実はもっと簡単な方法がありました。
√aは、aの2分の1乗と同値です。
そのためJavaScriptのべき乗演算子を使って計算できます。
べき乗による平方根演算
√a = a ** (1/2)
この方法を使って、10から30までの平方根を求めてみます。
for( i = 10 ; i <= 30 ; i ++ ) {
const r1 = i ** 0.5;
const r2 = Math.sqrt(i);
console.log( i,r1 , r2 , r1 - r2 );
}
結果は次のようになります。
10 3.1622776601683795 3.1622776601683795 0
11 3.3166247903554 3.3166247903554 0
12 3.4641016151377544 3.4641016151377544 0
13 3.605551275463989 3.605551275463989 0
14 3.7416573867739413 3.7416573867739413 0
15 3.872983346207417 3.872983346207417 0
16 4 4 0
17 4.123105625617661 4.123105625617661 0
18 4.242640687119285 4.242640687119285 0
19 4.358898943540674 4.358898943540674 0
20 4.47213595499958 4.47213595499958 0
21 4.58257569495584 4.58257569495584 0
22 4.69041575982343 4.69041575982343 0
23 4.795831523312719 4.795831523312719 0
24 4.898979485566356 4.898979485566356 0
25 5 5 0
26 5.0990195135927845 5.0990195135927845 0
27 5.196152422706632 5.196152422706632 0
28 5.291502622129181 5.291502622129181 0
29 5.385164807134504 5.385164807134504 0
30 5.477225575051661 5.477225575051661 0
ニュートン法はMath.sqrt()の結果と少し差がありましたが、こちらは同値のようです。
ニュートン法
ニュートン法は次の式が基本になっている（らしい）。
xn+1 = xn - f(xn) / f´(xn)
この計算を何度も繰り返すと、求めたい値に収束していく（らしい）。
しかし、数十年も数学から遠ざかっていると、何だこりゃである。
そして、この式から次のような平方根を求める式が導き出される。
x = (before_x + value/before_x) / 2;
とりあえずそのまま採用したけれど、意味不明なまま使うのは気持ち悪いので、少し時間をかけて調べてみました。
▶f(x) の置き換え
f(x) は、最終的に求めたい値（今回は平方根）がxとして与えられたとき、0になるような式を考えます。
√v のとき、次のような式になります。
f(x) = x - √v = 0
x が √v と同値の時0になるのは当たり前ですね。
次に √ を外すために、それぞれ２乗します。
f(x) = x2 - v = 0
▶f´(x) の置き換え
f´(x) は f(x) の微分です。
次の微分の公式を使用します。
(xn)′=nxn−1
よって、
f(x) = x2 - v
↓ 微分
f´(x) = 2x
となります。
- vが消えました。
微分はxが極小変化したときの変化量です。
なのでxの影響を受けない定数(v)は考慮する必要がないのです。
▶最初の式に当てはめる
f(x) と f´(x) を最初の式に当てはめます。
xn+1 = xn - (xn2 - v) / 2xn
累乗すると値が大きくなって、場合によっては数値型の最大値を超えます。
そこで、できるだけ累乗を減らす方向で整理します。
xn+1 = (xn + v / xn) / 2
ここまでわかれば、立方根や累乗根も式を導き出せますね。
ということでいいのだろうか？
更新日：2023/07/12
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